對數學未來的思考

「我們依然站在不斷擴展的地平線的門口」

讓我們想象一下：Archimedes(公元前287 -前212年 ) 這位在所有時代都是最卓越數學家之一的他正在提問：對於數學的未來你們看到了什麼？這位古代數學家剛剛計算了球的表面積與體積，或者一段拋物弓形的面積，伸了伸懶腰，坐在位於西西裏東海岸他家鄉敘古拉的沙灘上，凝視著天邊。他感到困惑：在數學上，他或者其他任何人還能再做點別的什麼？他的最大雄心之一是要計算任意幾何體的體積和表面積；然而他還不知道該怎麼下手。他使用的工具是純粹幾何的，基於希臘數學家們的數百年的研究並在他出身的數十年前由Euclid 編寫在他的名??《原本》中的那些知識。鑑於數學工具的十分缺乏，局限了Archimedes 的視野。他得不出分數相加、相乘的快捷方法。為此，人們得花上千年時間等待十進制由印度和阿拉伯傳到歐洲並使其發展。十進制的引進所帶來的符號簡化在其力所能及的範圍是革命性的。

將Archimedes 留在敘拉古的沙灘上，讓他去思考數學的未來還有些什麼吧，現在我們去造訪Issac Newton 爵士（1642 -1727）。23 歲時，當時剛取得劍橋大學學士學位，Newton 便被迫回家度過了18 個月光陰，因為那時正值大瘟疫，使大學關了門。在這短短的時間裏，Newton 有了許多基本的發現，數學上他發現了二項式定理及微積分的初期形式，在物理上則發現了白光的群組成及萬有引力定律，現在我們去會一會年事已高的Newton 並問一問他那個同樣對Archimedes 提出的問題：什麼是數學的未來？他可能會很快回應道，簡單的回答是，繼續建造微積分，借助於微積分，Newton 可以把任何幾何形狀的體積和表面積用積分來表示，並能計算到任意精確度，這 Archimedes 是所不能想象的, Newton 思考著這樣的事實，即用萬有引力定律和他自己的力學三基本定律（他會說'我的定律'），他能夠以解微分方程的辦法來算出運動物體的軌跡，而這些方程表現了力的平衡，那麼，他自問道'我們能用微分方程去描述其他的自然法則，從而能以發展解出這些方程的工具的方法來預言自然的進程嗎？'但即便是Newton的視野也不可避免地有所局限。

從這時起到Gauss （1777 -1885）在數論中的基本發展花去了一百年，而到發展微幾何的複雜性和Riemann 流形則又多花了五十年。當我們離現代越近則未來便越容易預測了，David Hilbert （1862 -1943）是一位對數學的幾乎每一個領網域都有本質性的貢獻的人。他在巴黎召開的國際數學家大會（1900）上列出一系列??名的數學問題，在這整個20 世紀對各個數學領網域有著極大的影響，比如在數論、集合論、幾何、拓撲論及偏微分方程中。

在最近的五十年中，我們親自體察了在數學的許多領網域中的巨大進展。在我所從事的偏微分方程（PED）這一領網域中，我們現在有了一個巨大的知識主體，使我們能夠去理解，預測並計算許多重要的物理和技術過程。例如，當我們測量一個固體的表面溫度，我們就可通過解稱之為'熱傳導方程'的偏微方程去推導出物體內部的溫度，如果從外部加熱一個冰塊，它開始融化，我們在微分方程方面的知識使我們可以斷定融化了的體積是怎樣變化的，以及在融化了的體積中的水溫。'樑桿方程'同樣能預言當承受壓縮力時一個彈性樑是如何變化。當加在樑上的壓力超過一個臨界值時，它就會突然翹曲，形變為許多狀態中的一種。這種情形解釋了微分方程解的多重性。

不管我們在微分方程方面的知識有多麼豐富，仍然有許多東西我們不知道。舉例來說，我們不知道氣體動力方程是否有一個數學解，這個方程是用來確定飛機周圍和發動機內的氣流的。我們沒有合適的知識來處理預測水的運動方程的解，從而我們對海洋的渦流缺乏了解，這些及其他許多的基本問題仍然期待得到數學的解答，在未來十年中它們仍是深入研究的主題。

數學的其他領網域無疑也處在同樣的不確定狀態：雖然取得巨大進展，依然有許多基本問題沒有解決。相對於早先的世紀而言我們處在一個充滿冒險和刺激的地位：我們已經發展了許多重要的研究領網域，已經有了許多強有力的計算和理論的工具。數學家們在未來許多年裏可以繼續忙於用現在的工具去尋找新方法，用來解決在數學和非數學（即科學和工程）領網域中出現的問題。然而數學史表明，由現在去預言長遠未來的發現是多麼徒勞。的確如此，在今天難以想象的數學的新領網域，會完全料想不出地冒出來。

因此我不去預測下個世紀數學的未來而在這裏舉出科技中三個關鍵領網域的例子，在那裏數學是以誠相待非常重要的成份出現的。這三個領網域是材料科學，生命科學和數碼技術。

材料科學中的數學

材料科學所關心的是性質和使用。目的是合成及製造新材料，了解並預言材料的性質以及在一定時間段內控制和改進這些性質。不久以前，材料科學還主要是在冶金，制陶和塑料業中的經驗性研討，今天卻是個大大增長的知識主體，它基於物理科學，工程及數學。所有材料的性質最終取決於它們的原子及其群組合成的分子結構。例如，聚合體是由簡單分子群組合成的物質，而這些分子是些重複的結構單元，稱之為單體。單個的聚合體分子可以由數百至百萬個單體構成並具有一個線性的，分枝或者網路的結構。

聚合體的材料可以是液態也可以是固態，其性質取決於加工它的方式（譬如，先加熱，逐漸冷卻，高壓）。聚合體的交錯纏繞的排列提出了一個困難的建模問題。但是，在一些領網域中數學模型已經表現得相當可靠，這些模型非常複雜，故而迄今只取得很少幾個結果，它們對聚合體加工可能有用，聚合體的較簡單但卻更表象的模型是基於連續介質力學，但附加了要記憶的一些條件。對材料科學家來說，解的穩定性與奇點是重要的結果，但甚至對於這些較簡單的模型仍缺少數學。

復合材料的研究是另一個運用數學研究的領網域，如果我們在一種材料顆粒中攙入另一種材料，得到一種復合材料而其顯示的性質可能根本不同於群組成它的那些材料，例如汽車公司將鋁與硅碳粒子相混合以得到重量輕的鋼的替代物。帶有磁性粒子充電粒子的氣流能提高汽車的制動氣流和防撞裝置的效果。

最近十年來，數學家們在氾函分析，PDE及數值分析中發展了新的工具，使他們能夠估計或計算混合物的有效性質。但是新復合物的數目不斷增長，同時新的材料也不斷被開發出來，迄今所取得的數學成就只能看作一個相當不錯的開始。甚至對已經研究了好些年的標準材料仍面臨著大量的數學挑戰。例如，當一個均勻的彈性體在承受高壓時會破裂。破裂是從何處又是怎樣開始的，它們是怎樣擴展的，何時它們分裂成許多裂片，這些都是有待研究的問題。

生物學中的數學

在生物學和醫藥科學中也出現了數學模型, 炒得很熱的基因方案的一些重要方面需要統計, 模型識別以及大範圍優化法 雖不太熱卻是長期挑戰的是生物學其他領網域中的進展, 比如在生理學方面, 拿腎臟作個例子吧, 腎的功能是以保持危險物質( 如鹽) 濃度的理想水準來規範血液的群組成。如果一個人攝入了過多的鹽，腎就必須排出鹽濃度高於血液中所含濃度的尿液。在腎的四周上有上百萬個小管，稱作腎單位，負有從血液中吸收鹽份轉入腎中的職責，他們是通過與血管接觸的一種傳輸過程來完成的，在這個過程中滲透壓力過濾起了作用。生物學家已把這過程涉及到的物質與人體群組織視為一體了，但過程的精確過程卻還只是勉強弄明白了。

腎臟的運作過程的一個初級數學模型，雖然簡單，卻已經輔助說明敘述了尿的形成以及腎臟做出的抉擇，比如是排出一大泡稀釋的尿還是一小泡濃縮的尿，然而我們僅僅是在了解這種機理的非常初級的階段。一個更加完全的模型可能會包含 PDE 、 隨機方程、流體力學、彈性力學、濾波論及控制論，或許還有一些我們尚不具備的工具。心臟力學、鈣（骨）力學、聽覺過程、細胞的附著與遊離（對生物過程是非常重要的，如發炎與傷口愈合）以及生物流體（biofluids）是生理學中其他一些學科，在那裏現代數學研究已經取得了一些成就；更多的成就會隨後而至。

數學將要取得重要進展的其他領網域，包括有一般性的生長過程和特殊的胚胎學、細胞染色、免疫學、反復出現的傳染病，還有環保項目如植物中的大範圍現象及動物群體性的建模。當然我們決不能忘記還有人類的大腦，自然界最棒的電腦，還有它所具有的感覺神經元、動作神經元以及感情和夢想！

多媒體中的數學

大約五十年前建成了第一台電腦，從而開始了一場可從表面上看1760 年到1840年發生在英國的產業革命相匹比的靜 那牡母 命。我們現在親自證實了這場電腦革命的完全衝擊：在商業、製造業、保健機構及工程業，與計算和通訊技術的進步相配的是數字資訊的萌芽狀態，它已為多媒體鋪出了一條路，其產品包括了文字圖像、電影、錄像、音樂、照像、繪畫、卡通、數據、遊戲及多媒體軟體，所有這些都由一個單獨站址發送。

多媒體的數學包括了一個大範圍的研究領網域，它包含有電腦可視化，圖像處理，語音識別及語言理解、電腦輔助設計和新型網路。這些會有廣泛的應用，應用於製造業、商業、銀行業、醫療診斷、資訊及可視化，還有娛樂業，這只點出了幾個而已。多媒體中的數學工具可能包括隨機過程、Marko 場、統計模型、決策論、PDE 、數值分析、圖論、圖表算法、影像分析及小波等。還有其他一些領網域中的一些，目前似乎還處在某種程度的監護下，如人造生命和虛擬世界。

電腦輔助設計正在成為許多工業部門的強大工具：完全在電腦上設計，在鍵盤上一敲後產品便在遠處的工廠裏實現了。這種技術能成為數學家進行研究的工具嗎？信息網（WWW）已經成為多媒體最強勁的動力。它未來的輝煌取決於許多新的數學思想和算法的發展，目前仍處在孩提時期。隨著多媒體技術的擴展，對於保護私人數據的通訊文本的需要也與日俱增。發展一個更加安全的密碼系統就是數學家們的任務了。為此，他們必定要借助於在數論、離散數學、代數幾何及動力系統方面的新進展，當然還有其他一些領網域。

在物質的與生命的科學和在技術的發展中，數學繼續起著與日俱增的重要作用。

正如Archimedes 站在敘拉古的海灘上一樣，這裏我們正站在一個新世紀和一個新千年的門檻上。我們只能推測，新的理論最終會解決一切向數學挑戰的問題，無論它是來自我們生活的世界還是來自數學本身。在過去的幾個民紀裏我們獲得了驚人的大量知識，但正如Archimedes 和Newton 一樣，我們依然在不斷擴展的數學地平線的門口。

(Avner Firedman 美國明尼蘇達大學數學及應用研究所所長)

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