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三、數學軟體 |
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1. MapleMaple 是現在教學重要的工具，目前已發展到 Maple 8，具強大的符號運算能力及2D、3D繪圖功能等。即使你只把 Maple 當成個黑盒子，丟什麼進去就出來什麼，如此的使用雖然無法攝取道到它的強大功效，也都值回票價。 在教育工學的環境裡教數學，不只是講述敲鍵盤、按滑鼠而跑出結果，更重要的課題是：這些方法卻能影響到數學的教材內容。仔細想想：在中學的整個學習過程中，人們對數學的印象是煩雜的計算與陌生的符號。現在我們以因式分解為例：你看這樣一敲答案就出來。這個動作說明因式分解是機械式的動作，背後缺乏高深的數學推理，而我們中學所學的也不就是一堆非常機械化的動作嗎？這些軟體出現之後，尤其突顯這個動作並不是非常重要。所以，對大學生而言我們更不應強調這些東西。比如微積分教學時，學生學得再好，也不可能比電腦來得快吧！如此看來，這軟體是個挻不錯的教學工具，因為它影響我們的教學內容。 數學本身有很多是需要思考，而非僅是機械化的摩練學生計算的速度。在我的微積分課裡，我要求學生要會使用這個軟體 (Maple)，考試 Open Book 的方式，可以參考任何筆記、任何書本，也可以便用任何軟體，可以用計算器幫你決解任何問題，唯一要求是不能跟隔壁同學討論，學生可以在兩個鐘頭內回答問題。我的觀念是，電腦只是用來輔助計算的工具，真正數學裡面思考的部分是不太可能用電腦就能得到結果。 另一方面，我們可以透過電腦來做實驗，一面作實驗一面想我有什麼樣的猜想可能是對的，這類事情電腦幫了很大的忙，但是，對於證明這方面，按幾個鍵就證明出來，我相信世界上還沒達到這麼厲害的程度！ 2.
Cabri Geometry 剛才是介紹跟符號運算有關的軟體，那我們再回顧人類最早是怎麼學數學的。西方最早的數學出現於埃及，最早的幾何學可能是埃及人做出來的，那埃及人是怎麼教學生幾何呢？他們很可能是幾個人圍在沙地上，用根棍子在沙地上畫圖形來探討幾何作圖的方法。可以想像，在沙地上畫個圓圈，人們會問：「我從上面看是個圓圈，從旁邊望過去不是個橢圓嗎？因此他們教學的工具就影響到他們討論的內容，為什麼呢？這種方式很容易引導他們問到：究竟什麼樣的幾何圖形具有從上面看和從側面看都是正確的性質？也就是我們數學裡面所謂的投影幾何，投影幾何也就是這樣子發展出來的。所以我們說古時候西方文化裡面，投影幾何是他們最早的學習對象。 投影幾何對西方文化有非常深遠的影響，舉例來說，中國的國畫和西方的油畫比較下，中國人講的是意境，他們可能不像我們那麼講究意境，可是他們把投影幾何的原理搬到裡面，最明顯的例子就是耶穌的《最後的晚餐》，週圍所有物體相關的連線都相交在耶穌的眼睛上。你可以看到西方所有藝術有關建築物的，都是基於投影幾何的原理所畫出來的。在中國古時候的國畫裡面，就沒有投影幾何的精神在裡面，這便是投影幾何在西方文化蠻重要的影響。所以，你用什麼教材、什麼工具教學生，這個相當影響整個學術的發展。 現代的幾何作圖軟體 剛剛講的投影幾何完全基於直線作圖所發展出來的。傳統幾何採納「圓規和直尺」作為教學工具。由歷史發展不難看見：整支歐氏幾何就是依據圓規和直尺的作圖所發展出來的。在1990年左右，出現了一套軟體，它現在的型式叫Cabri Geometry，它所作出來的東西基本上都是圓規和直尺的作圖。(我們由以下現場展覽看到如何由摺紙的折痕形成橢圓)。好處是，它可以把圓規直尺作圖的過程，完完整整地在電腦上做出來。透過這個軟體來教學時你會發現，我們所教的數學思考方法要作個很大的改變，傳統的教學是：「已知、求證、證明三步曲」，最精采的部分放在「證明」。現在在動態幾何的環境下，我們不難體會到，「求證」的過程反而最具吸引力！ 有些現在看起來精采的數學證明，當年要經過多麼辛苦的歷程，可是現在的學生完全不知道獲得這個證明的掙扎過程，他們現在所看到的只不過是經過幾百年，人們把這個證明一次又一次地將之磨得更漂亮，看起來確實很漂亮，但完全不知背後的辛苦。有了這個軟體之後，有機會讓學生了解到中間掙扎的過程。甚至乎，在講橢圓時，先不要把橢圓的定義告訴學生，讓他們去想合乎這曲線上的點，它們的關係是什麼？從一個活動中間讓學生們去探討，啊！原來這個圖形有這樣的性質，那我們就把這樣的性質當作它的定義。 所以甚至一些幾何圖形的概念、定義，也都可以想辨法透過電腦來了解，這是電腦最大的頁獻 — 允許大家透過動態幾何的實驗，了解這些東西。
現代軟體在繪製函數圖形必定要依賴數學方程式。就像在
Maple
的作圖中，你想要做
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