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五、問題討論 |
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問：「在教橢圓形時，在傳統的數學教學是告訴你已知是什麼，請你把它證出來。而在動態幾何環境下，先不告訴學生橢圓的定義，要學生由實作中整理出橢圓的概念，然後提煉出定義，所以變得有趣的。問題是，你怎麼發現它的證明？」 全：「傳統的數學教學將重點放在證明，可是在現在的教學環境來說，我們強調數學知覺、強調體會、強調幾何探索的樂趣、強調探索的過程。」 問：「我想到一個有趣的地方，我不知這樣講對不對，我們會很好奇，一個數學家他已知這個，要把另一個證出來，他是證出來後才求證嗎？還是他的直覺告訴他這是對的，然後才去把它證出來？但一般人可有那麼強的直覺？ 全：「一般在數學的領域中，當你覺得這個是對的，你要有很強的直覺才能知道這是對的，但是數學家總深怕直覺上是對的而實際上卻是錯的，所以要經過證明才能放心。可是在我所討論幾何作圖的範圍中，大致都需要想辨法去知道它的證明方法是怎麼才能順利將圖形畫出。當然，有一點數學和其它領域不一樣的地方：數學只把成功的結果作出來，而不會把失敗的結果展示出來。」 問：「這是一個通識課程，您常需要對面不同年級的學生、不同的程度，您有沒有曾經對於不同科系，如理工科或人文的學生，對於他們如何學習的心裡歷程做過類似的研究？看看之間的差別？」 全：「基本而言，大概不會有太大的差別，原因是典型的高中學生，他經歷過六年的數學訓練，但在這方面仍是不足的。國一的數學開始教代數，學生便完全把心思放在代數上，換言之，什麼叫做拋物線？他一定是把方程式
問：「我覺得很有趣的是，往往東西被拋棄是因為這個東西不夠純粹，可是現在你提倡圓規直尺作圖來協助證明。由數學的發展看來，符號來操弄證明應該是最純粹的，而您的作法是讓我們回到更古老的方式，也就是更訴諸於與我們更接近的世界。 全：「數學界有一個基本的想法是：凡是用眼睛看到的東西是不可靠的。基於這個理念，二十世紀發展出極端缺乏直覺性的 abstract nonsense。我們強調更具基礎性、更符合歷史發展、更直觀的由圓規直尺的角度來探討。」 問：「你所展示的這些數學軟體會對於數學老師帶來何等的衝擊？或對未來整個教學教育的發展如何？如果老師在上面教學生在下面一按就出來，那未來老師如何教？」 全：「我相信不只是數學，自二十世紀電腦發展之後，對每一學科都產生很大的影響，這是以前所無法想像的。我想任何一個學科都會遇到的問題是：在這個學科裡面什麼是最重要的東西？但又是誰來決定這是最重要的呢？大致這些都是由權威人士、權威的學派所定出來的，可是那些權威人士對於電腦的應用接觸了多少？是不是認為重要？這倒是另一回事。2002年的現在我們仍不難遇到滿腦袋裡充滿Fortran的架構的數值分析家，Fortran 是他當年所學的。現在的他大概也沒有機會接觸也不想接觸新鮮的東西，何況這也不是他教授升等的標準。我算是很幸運的，1977年來清華大學教書，1984年時算是過關，在我過關前三、五年時，已經開始對這些東西有興趣，所以我一直對這有興趣一直做下去。但在我之後的人便沒那麼幸運，為什麼？因為以後的人還是需要過關，但他不太可能拿這種東西來過關，等到他過完關時，要他再學這種東西已經太遲了，他沒辨法去學，這樣惡性循環下來，就算是希望未來數學家對這類有足夠的了解，可是要找這個已不大容易，非常不容易，因為他的老師不會教他，他的老師的老師也不會教他，學習的途徑就小多了。」 問：「不能被機器取代的數學，比如思考方式，有沒有特別的名稱？在您做的東西中要怎樣表現它是不能被取代的？」 全：「數學裡面百分之九十九的推理都是不能被電腦取代。數學大致分為有限的世界及無限的世界，而電腦基本的架構屬於有限的世界，所以想要在電腦上表現無限時並不容易，或許可以考慮採用符號的運算。要電腦懂得思考的先決條件是：我們必須要用恰當的軟體來詢問恰當的問題。現在我們拿個簡單的數學問題為例來說明：為什麼偶數加偶數等於偶數？說穿了就是二倍的 a 加上二倍的 b 等於二倍的 a+b，國中的同學都知道這叫做因子分解。偶數加偶數等於偶數，聽來簡單，但你可知道我已經偷偷的把無窮的概念隱藏在裡面？如果以直覺的方法來作實驗，我們會試試看2+4是不是偶數，然後問 18+22 是不是偶數？…如果以這種精神做下去，就算使用最快速的電腦也做不完。道理是：基於有限的世界的電腦架構是無法處理無限多的資料。但如果從代數的角度來看位於公式 2a+2b=2(a+b) 中 a 可以用無窮的數字代入，無窮便從這裡進來。如果硬要用直覺的方法來詢問計算機「偶數加偶數是否等於偶數？」我們永遠得不到完整的答覆。可是如果利用符號運算軟體作 2a+2b 的因子分解時，由計算機所獲得的答案倒是完整的。 問：「數學的代數，聽起來好像屬於較高層次的認知科學，那難道電腦就不能做嗎？」 全：「我也希望如此，但在數學裡面，比如求最大值解、最佳化解問題，這類東西不是在有限世界裡，在無窮世界裡也會產生，就您說的較高層次的認知方面，我也希望有類似的科技，但我從來不知道有實在的例子，可供人們模擬之。」 問：「我意思是說模擬它的法則，法則是由數量計算而來，這個層次在電腦來說應該不成問題。我想問的是，目前我所知很多的人文思考，其中包括美術、直覺等，確實是連在好幾層認知之外，都不夠做預測、模擬，是否有這種現象？」 全：「數學裡面的確是有這種事情，比如說人們的思考能夠在純粹及抽象的拓樸裡面一直發展下去。這類思考活動真的很像是電腦懂得進行的動作。但是當前似乎不存在懂得作這些動作的辨法。」 問：「電腦的出現對現在的衝擊，以前如果我要證明一個定理，我就在某個期刊上發表一篇文章，那現在如果我有一個證明五、六百頁，或是我電腦跑起來要好幾天，我告訴你說我己經證明了，那數學界是怎麼看這種證明？」 全：「在數學裡面的確是有這種事情，像克卜勒猜想(The Kepler Conjecture)：我們在市場上看到人家在賣蘋果，那怎樣擺才會最省空間？他一定很規則的以正六角形的方式擺上去。在數學上我們自然會產生克卜勒猜想：同樣大的蘋果有 n 個，要怎樣擺會使整個空間最節省？大家在水果攤都這麼擺，可是如何去證明這件事？到目前為止還沒有出現一個漂亮的證明。但我看過一個網頁，作者居然設法將這克卜勒猜想證明出來了！然而這個證明所佔的篇幅卻龐大得難以置信：250頁的文字附加 3 gigabyte 的 data ! 如此的證明在數學上並不有趣，在數學上希望見到簡潔、小巧玲瓏的方法來證明。另一類似問題「四色問題」：怎樣用最少的顏色來區分不同國家？直到1970左右，才用蠻力拼命用電腦花了很大的計算資源證明出是對的，但對數學家來講這證明是一點也不有趣，數學家希望看到的是「一行證明」，在概念上有所突破可以一下子證明出來的證明。」 問：「所以這是個不好的數學？」 全：「以主觀的角度看來，這是不好的數學！」
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